[Songtext zu „Die Eulersche Zahl ist irrational“]
[Refrain]
Unendlich viele Nachkommastellen hat die Eulersche Zahl
Und, weil sich nichts immer wieder wiederholt, ist sie irrational
Einen Beweis dafür hab ich natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca. 2,718
[Strophe 1]
Das erste, was zu klären wär, ist: Was ist eigentlich e?
Und, um das zu verstehen, brauchen wir die Fakultät
Steht hinter einer Zahl ein Ausrufezeichen, heißt das Fakultät
Worunter man das Produkt der Zahlen von 1 bis n versteht
Zum Beispiel 4! ist 4∙3∙2∙1
Und ich geh mal davon aus, dass du das verstehst und jetzt weißt
E ist die Summe der Kehrwerte der Fakultäten von 0 bis unendlich
Und das als Bruch zu schreiben, tut mir leid, aber das geht nicht
Denn dafür bräuchtest du nen Bruch -- z.B. p/q
Mit ner ganzen Zahl als p und nem natürlichen q dazu
Bei unserer Summe gehören ja alle natürlichen Zahlen dazu --
Von daher finden wir an irgendner Stelle auch unser q
Und alles bis dahin wird subtrahiert
Und auf beiden Seiten jetzt mit q! multipliziert
Da schauen wir doch mal, wie wir weiterkommen
Konzentrieren wir uns erst mal auf den Bruch ganz vorn:
P∙q∙(q-1)∙(q-2) ... und so weiter
Da sehen wir schon: da ist das q dabei, da
Können wir das kürzen und das, was hier noch steht
Ist, wenn man's kurz macht: p∙(q-1)!
In den nächsten Schritten dividiert man Fakultäten
Und vielleicht denkst du dir: Kann man da kürzen? Ja, das geht, denn:
Schreibst du die Fakultäten als Produkte, kannst du sehen
Dass die im Zähler und im Nenner beide bei 1 losgehen
Da die Fakultät im Nenner jeweils kleiner ist als die im Zähler
Kürzt sich der ganze Nenner raus und letzten Endes steht da
Nur noch ne Differenz von Produkten ganzer Zahlen da
Und das ist dann ja wieder eine ganze Zahl -- na klar!
Da hab ich alles, was ich für die linke Seite brauch, doch:
Die rechte Seite mache ich natürlich auch noch
[Refrain]
Unendlich viele Nachkommastellen hat die Eulersche Zahl
Und, weil sich nichts immer wieder wiederholt, ist sie irrational
Einen Beweis dafür hab ich natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca. 2,718
[Strophe 2]
Hier geht das doch fast nach demselben Prinzip
Weil es im Zähler und im Nenner Fakultäten gibt
Nur, dass in diesem Fall der Zähler, also q!
Bei jedem dieser Brüche auch im Nenner steht
Wenn wir das kürzen, dann bleibt im Zähler immer nur die 1 stehen
Während wir im Nenner jeweils ein Produkt sehen
Was 1, dann 2, dann 3 usw. Faktoren enthält
Bei denen man dann gleich ziemlich schnell feststellt
Dass jeder Faktor mindestens 2 ist
Weil hier jedes Mal ja neben q noch mal was dabei ist
Das heißt: Setzt du für jeden Faktor eine 2 ein
Wird der Nenner dieser Brüche jeweils kleiner sein
Also vergrößern sich die ganzen Brüche damit im Nu
Und diese Summe mit den 2en ist größer als die mit dem q
Zum Verdeutlichen, was diese Reihe ergibt, werd ich mal versuchen
Das graphisch darzustellen -- und zwar mit einem Kuchen
Zum Dienste der Wissenschaft werde ich jetzt diesen Kuchen verzehren
Und dabei gleich die Reihe hier erklären
Denn esse ich erst die Hälfte und dann gleich ein Viertel hinterher
Dann noch Achtel und ein Sechzehntel, dann esse ich immer mehr
Aber nach jedem Stück ist der Rest, den ich noch essen mag
So groß, wie das Stück, das ich grade gegessen hab
Es kann also das, was noch zum ganzen Kuchen fehlt, beliebig klein sein
Und damit muss die unendliche Summe letztlich 1 sein
Die Summe mit den q's ist also kleiner als das
Doch, weil die Summanden positiv sind, noch größer als 0, oder was?
Aber auf der linken Seite stehen nur ganze Zahlen
Doch weil wir zwischen 0 und 1 davon keine haben
Kann, ganz egal, mit welchem p und q wir das probieren
Die Gleichheit an dieser Stelle nicht funktionieren
Die Annahme, e wäre p/q ist also nicht OK
Und damit ist die Eulersche Zahl irrational. q.e.d
[Refrain]
Unendlich viele Nachkommastellen hat die Eulersche Zahl
Und, weil sich nichts immer wieder wiederholt, ist sie irrational
Einen Beweis dafür hab ich natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca. 2,718281828459045235360287471352662... ungefähr
